Teknologi Informasi dan Komunikasi(TIK) untuk pembelajaran dan pengembangan diri

-
      Teknologi Informasi dan Komunikasi (TIK) atau yang lebih populer dengan sebutan Information and Communication Technology (ICT) sudah semakin berkembang serta memberikan pengaruh terhadap berbagai bidang. (Bambang Warsita 2006), berpendapat bahwa perkembangan Teknologi Informasi dan Komunikasi (TIK) telah mencapai gelombang yang ketiga. Gelombang pertama timbul dalam bentuk teknologi pertanian. Gelombang kedua timbul dalam bentuk teknologi industri. Kini, gelombang ketiga yang ditandai dengan pesatnya perkembangan teknologi elektronika dan informatika.         Dunia pendidikan saat ini mulai mengintegrasikan teknologi pada berbagai aspek termasuk dalam pembelajaran. Kebijakan pendidikan diarahkan untuk memanfaatkan teknologi informasi dan komunikasi sehingga mampu mempersiapkan sumber daya manusia yang mampu menghadapi tantangan global. Dalam pemanfaatan teknologi informasi dan komunikasi pada pembelajaran setidaknya pendidik mampu menguasai ...
Posting Komentar

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL LINEAR

-
  Integral Fungsi Rasional Faktor Linear
     Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk   `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)'}` dimana `f(x),g(x)` adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan `g(x)\ne0.` Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan `f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_nx^n=1,2,3,...,`sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk  `\frac{f(x)}{g(x)}` yang pembilang dan penyebutnya polinom.
Contoh

1.  `f(x)=\frac{1-x}{x^2-3x+2}`  (fungsi rasional sejati)
2.  `f(x)=\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}` ( fungsi rasional tidak sejati)
3.  `f(x)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x}`(fungsi rasional tidak sejati)
  
    Pada contoh di atas,(1) disebut fungsi rasional sejati ,karena derajat pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut. Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati,maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:

 `F(x)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x}`

       `=` `x^2-3+\frac{(14x+1)}{x^3+5x}`

`F(x)=\frac{f(x)}{g(x)},g(x)\ne0.`

 Dalam menentukan integral fungsi rasional,langkah yang ditempuh adalah:

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut `g(x)` dari fungsi rasional `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}` sampai tidak dapat difaktorkan lagi.

3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, `g(x)` dapat berupa kombinasi antara:

- fungsi linear berbeda , `g(x)`= (x-a)(x-b)....(x-t) dan seterusnya.

-fungsi linear berulang, `g(x)=(x-a)^n` 

                                             `=` `(x-a)(x-a)(x-a)...(x-a)`

-fungsi linear dan kuadrat, `g(x)=(x-a)(ax^2+bx+c)`

-fungsi kuadrat berbeda, `g(x)=(ax^2+bx+c)(px^2+qx+c)`

-fungsi kuadrat berulang,  `g(x)=(ax^2+bx+c)^n` dan seterusnya.

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran  dapat ditentukan  antiturunannya,

Misal: 

`\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_1}{(ax_1+b_1)}+\frac{A_2}{(ax_2+b)}+....`(Penyebut        kombinasi linear berbeda)

`\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_1}{(ax+b)}+\frac{A_2}{(ax+b)}+\frac{A_3} {(ax+b)}+.....` (kombinasi linear berulang)

-`\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_1x+B_1}{(a_1x^2+b_1x+c_1)}+\frac{A_2x+B_2}{(a_2x^2+b_2x+c_2)}+.....` (kombinasi kuadrat berbeda)

5. Integralkan secara  keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasiil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentkan konstanta `A_1,A_2,..A_n` dan `B_1,B_2,..B_n`

Contoh

1. Tentukan `\int\frac2{x^2-1}dx`

Karena integran adalah fungsi rasional sejati,selanjutnya faktorkan integran:

`\int\frac2{x^2-1}dx=\int\frac2{(x-1)(x+1)}dx`

                               `=` `\int\frac A{(x-1)}+\frac B{(x+1)}dx`

                               `=` `\int\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)}dx`

                               `=` `\int\frac{(A+B)x+(A-B)}{(x-1)(x+1)}dx`

Diperoleh `A+B=0,A-B=2` atau `A=1,B=-1` sehingga:

 `\int\frac2{x^2-1}dx = \int\frac 1{(x-1)}+\frac-1 (x+1)dx`  

                                 `=` `\int\frac1{(x-1)}dx-\int\frac1{(x+1)}dx`

                                 `=` `In\|x-1|-In\|x+1\|+C`

                                 `=` `In\|\frac{x-1}{x+1}|+C`

2. `\int\frac{x+1}{x-1}dx` integran fungsi rasional tidak sejati ,maka:

`\int\frac{x+1}{x-1}dx=\int1+\frac2{x-1}`

                                `=` `\intdx+\frac2{x-1}`

                                `=` `x+In\|x-1\|^2+C`

Contoh soal

Tentukan hasil pengintegralan berikut:

`\int\frac{x+1}{x^2+x^2-6}`

Jawab

`\int\frac{x+1}{x^2+x^2-6}=\int\frac{x+1}{x(x-2)(x+3)}dx`

                                           `=` `\int\frac Ax+\frac B{(x-2)}+\frac C{(x+3)}`

                                           `=` `\int\frac{A(x-2)(x+3)+B(x)(x+3)+C(x)(x-2)}{x^3+x^2-6x}dx`

                                           `=` `\int\frac{(A+B+C)x^2+(A+3B-2C)x-6A}{x^3+x^2-6x}dx`

Diperoleh `A+B+C=0`

                 `A+3B-2C=1`

                 `6A=1`

Atau `A=-\frac16,B=\frac3{10},C=-\frac2{15},`

Sehingga `\int\frac{x+1}{x^3+x^2-6x}dx=-\frac1 6\int\frac{dx}x+\frac3{10}\int\frac{dx}{(x-2)}-\frac2{15}\int\frac{dx}{(x+3)}`

                                                                  `=-\frac1 6In\|x|+\frac3{10}+In\|x-2\|-\frac2{15}In\|x+3\|+C`

Contoh (Penyebut integran dalam faktor linear berulang)

1. `\int\frac{x+1}{x^2-4x+4}dx,` karena integran adalah fungsi rasional sejati maka:

`\int\frac{x+1}{x^2-4x+4}dx=\int\frac{x+1}{(x-2)(x-2)}dx`

                                             `=` `\int\frac{x+1}{(x-2)}^2dx`

                                             `=` `\int\frac A{x-2}+\frac B{(x-2)}dx`

                                             `=` `\int\frac{A(x-2)+B}{(x-2)}^2dx`

                                             `=`   `\int\frac{Ax(B-2A)}{(x-2)}^2dx`

Sehingga diperoleh 

`A=1,B-2A=1` atau `A=1` dan `B=3`, sehingga 

`\int\frac{x+1}{x^2-4x+4}dx=\int\frac A{x-2}+\frac B{(x-2)}^2dx`

                                            `=` `\int\frac1{(x-2)}dx+\int\frac3{(x-2)}dx`

                                            `=` `In\|x-2|-\frac3{(x-2)}+C`

2. `\int\frac{x^2-1}{x^2+4x+4}dx`

Integran diatas bukan fungsi rasional sejati,maka diubah terlebih dahulu menjadi fungsi rasional sejati.Sehingga:

`\int\frac{x^2-1}{x^2+4x+4}dx=\int1+\frac{(-5x-4)}{x^2+4x+4}dx`

                                                   `=`  `\int1dx-\int\frac{5x+4}{x^2+4x+4}`

                                          `=` `x+C_1-\int\frac{5x+4}{x^2+4x+4}dx`

 Selanjutnya `\int\frac{5x+4}{x^2+4x+4}dx=\int\frac{5x+4}{(x+2)}dx`

                                                                     `=` `\int\frac A{x+2}+\frac B{(x+2)}dx`

                                                                     `=` `\int\frac{A(x+2)+B}{(x-2)}^2dx`

                                                                     `=`   `\int\frac{Ax+(2A+B)}{(x-2)}^2dx`

Diperoleh `A=5,2A+B=4 atau A=5,B=-6`,sehingga

`\int\frac{5x+4}{(x-2)^2}dx=\int\frac5{(x+2)}dx-\int\frac6{(x+2)}^2dx`

                                                `=` `5In\|x-2|+\frac6{(x+2)}+C`                                                              

  Jadi,  `\int\frac{x^2-1}{x^2+4x+4}dx=x+5In\|x-2|+\frac6{(x+2)}+C`

                                                                             

      







  

      

 

 





Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

INTEGRAL TAK TENTU

-
INTEGRAL TAK TENTU Pengertian Integral Tak Tentu Integral tak tentu atau disebut dengan anti-turunan adalah bentuk operasi pengintegralan  yang  menhasilkan suatu fungsi baru. Integral tak tentu merupakan suatu fungsi baru yang turunannya sama seperti fungsi aslinya. Jenis integral ini tidak memiliki batas dan belum mempunyai nilai yang jelas. Integral Tak Tentu (undefinite integral) adalah bentuk integral yang variabel integrasinya tidak memiliki batas sehingga integrasi dari sebuah fungsi akan menghasilkan banyak kemungkinan dan hanya dinyatakan sebagai penyelesaian umum. Istilah tak tentu berarti bentuk fungsi f(x) memuat konstanta real sembarang.  Perhatikan persamaan berikut Jika  `f\left(x\right)`   dan turunannya `\frac{df}{dx}=f^'\left(x\right),`   ,  maka integral  dari  `f^'\left(x\right)`  terhadap x  dinyatakan  `\int f^'\left(x\right)dx=f(x\}+c` dengan C suatu konstanta. Rumus integral tak tentu sebagai beriku...
Baca selengkapnya

Ruang Lingkup Profesi Keguruan

-
 Profesi adalah suatu pekerjaan yang dalam melaksanakan tugasnya memerlukan/menuntut keahlian (expertise), menggunakan teknik-teknik ilmiah, serta dedikasi yang tinggi. Keahlian diperoleh dari lembaga pendidikan yang khusus diperuntukkan untuk itu dengan kurikulum yang dapat di pertanggungjawabkan. Pada dasarnya profesi guru adalah profesi yang sedang tumbuh. Walaupun ada yang berpendapat bahwa guru adalah jabatan semiprofesional, namun sebenarnya lebih dari itu. Peranan profesi guru dalam keseluruhan program pendidikan disekolah diwujudkan untuk mencapai tujuan pendidikan yang berupa perkembangan siswa secara optimal. Untuk maksud tersebut, maka peranan professional itu mencangkup tiga bidang layanan, yaitu layanan intruksional, layanan administrasi, dann layanan bantuan akademik social pribadi. Pertama, penyelenggaraan proses belajar mengajar, yang menempati porsi terbesar Dari profesi keguruan. Kedua, tugas yang berhubungan dengan membantu murid dalam mengatasi masalah belajar p...
Baca selengkapnya

sasaran sikap profesional dan pengembangan sikap profesional (Case method)

-
  A. Pengertian sikap profesional guru Sikap profesional merupakan sikap seseorang dalam menjalankan pekerjaan yang mencakup keahlian,kemahiran dan kecakapan yang memenuhi standar mutu atau norma tertentu serta memerlukan pendidikan profesi. Thursthoen menjelaskan bahwa, “sikap” adalah gambaran kepribadian seseorang yang terlahir melalui gerakan fisik dan tanggapan pikiran terhadap suatu keadaan atau suatu objek. Sedangkan Berkowitz menerangkan sikap seseorang pada suatu objek adalah perasaan atau emosi, dan faktor kedua adalah reaksi/respon atau kecenderungan untuk bereaksi. Sebagai reaksi maka sikap selalu berhubungan dengan dua alternatif, yaitu senang (like) atau tidak senang (dislike), menurut dan melaksanakan atau menghindari sesuatu.Profesional adalah pekerjaan atau kegiatan yang ilakukan oleh seseorang dan menjadi sumber penghasilan kehidupan yang memerlukan keahlian, kemahiran, atau kecakapan yang memiliki standar mutu atau norma tertentu serta memerlukan pendidikan profes...
Baca selengkapnya