Teknik subtitusi merupakan suatu metode penyelesaian integral dengan cara mensubtitusikan
atau mengganti fungsi `f\left(x\right)` dengan simbol "u". Untuk menentukan `\int f\left(x\right)dx`kita
dapat mensubtititusikan `u=g\left(x\right)` dan `du=g^'\left(x\right)dx` dengan g fungsi yang
dapat diintegralkan. Istilah lain untuk teknik substitusi adalah pemisalan. Apabila subtitusi
itu mengubah `f\left(x\right)dx`menjadi `h\left(u\right)du` dan apabila H sebuah anti-turunan h, maka
`\int f\left(x\right)dx=\int h\left(u\right)du=H\left(u\right)+C=H\left(g\left(x\right)\right)+C`
Teknik subtitusi pada umumnya digunakan untuk memudahkan penyelesaian integral ke bentuk
rumus dasar rumus integral tak tentu,yaitu;
a. `\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c,`asalkan `n\ne1` atau
b. `\int\left[f\left(x\right)\right]^nf^'\left(x\right)dx=\frac{\left[f\left(x\right)\right]^{n+1}}{n+1}+C`,
asalkan `n\ne1`
Karena rumus di atas adalah pedoman umum. maka integrannya menyesuaikan dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian setelah integran sesuai dengan bentuk baku integralnya dapat dilakukan dengan mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu. Akhirnya selesaiannya dapat dilakukan dengan metode substitusi.
Contoh:
1. `\int\left(3x+12\right)^{11}dx`
Misal `u=3x+12`
- `d\left(u\right)=d\left(3x+12\right)`
- `du=3dx`
- `dx=\frac{du}3`
Sehingga `\int\left(3x+12\right)^{11}dx=\int u^{11}\frac{du}3`
`=\frac1 3\int u^{11}du`
`=\frac1 3\left(\frac{u^{12}}{12}\right)+c`
`=\frac1{36}u^{12}+c`
`=\frac{\left(3x+12\right)^{12}}{36}+c`
2. `\int\cos^2 2x\dx`
Misal `u=2x`
`\Leftrightarrow d(u)=d(2x)`
`\Leftrightarrow du=2dx`
`\Leftrightarrow dx=\frac{du}2`
Sehingga `\int\cos^2\2xdx=\int\cos^2u\frac{du}2`
= `\frac1 2\int\cos^2u\;du`
= `\frac1 2\int\frac{1+\cos2u}2du`
= `\frac1 4\int du+\frac1 4\int\cos2u\;du`
= `\frac u4+\frac{\sin2u}8+c`
= `\frac{2x}4+\frac{\sin4x}8+c`
= `frac x2+\f\rac{\sin4x}8+c`
3. `\int\sqrt{4x^2+4x\}\(4x+2)dx`
Misal `u=\sqrt{4x^2+4x}`
`\Leftrightarrow u^2=4x^2+4x`
`\Leftrightarrow d(u^2)=d(4x^2+4x)`
`\Leftrightarrow2u \du=8x+4`
`\Leftrightarrow2u \du=2(4x+2)dx`
`\Leftrightarrow u du=(4x+2)dx`
Sehingga `\int\sqrt{4x^2+4x}(4x+2)dx=\int u udu`
= `\int u^2du`
= `\frac1 3u^3+c`
= `\frac1 3\3sqrt\left(4x^2+4x\right)+c`
Subtitusi Integral
Metode ini dinyatakan dalam teorema berikut:
Misalkan g adalah fungsi yang terdeferensialkan dan F adalah anti turunan dari f. maka
`\int f\left(g\left(x\right)\right)g^'\left(x\right)dx\equiv F\left(g\left(x\right)\right)+C`
Sebagai contoh kita akan menghitung `\int2x\left(x^2+1\right)^3dx`
Sekarang ,perhatikan bahwa
`\int2\times\left(x^2+1\right)dx=\int\left(x^2+1\right)^3 2x dx`
Bentuk integral ini sesuai dengan Teorema dimana
`f\left(x\right)=x^3,9\left(x\right)=x^2+1,dan g'\left(x\right)=2x`.
Karena `F\left(x\right)=x^4/4` adalah anti turunan dari f(x) ,maka hasil dari integral semula adalah
`F\left(g\left(x\right)\right)+C=\frac{\left(x^2+1\right)^4}4+C`
Sebagai alternatif, kita bisa menuliskan `u=x^2+1`. Lalu menentukan
turunannya,yaitu `du=2xdx`.Lakukan substitusi pada integral semula,sehingga
`2x\le \intft(x^2+1\right)^3dx=\int u^3du`
`=\frac{u^{3+1}}{3+1}+c`
`=\frac{u^4}4+C`
`=\frac{\left(x^2+1\right)^4}4` `\left[u=x^2+1\right]`
Komentar
Posting Komentar