Seperti halnya garis singgung yang mendasari turunan, masalah luas merupakan dasar untuk pembahasan integral tentu khususnya luas poligon,baik poligon dalam maupun poligon luar yang dapat dibuat pada bidang datar, didasarkan atas rumus luas persegi panjang.
1. Luas Menurut Poligon Dalam
Sebagai contoh ,akan dicari L(P) Luas Daerah datar yang dibatasi oleh kurva `y=f(x)=x^2` ,sumbu `-x`, garis `x=0` dan `x=2`.Pertama dipartisikan selang `0\leq x\leq2` atas selang bagian yang sama dengan panjang \triangle x=2/n, dan memakai titik-titik :
`0=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n=2,`
`x_0=0`
`x_1=0+\triangle x=2/n=1(2/n)`
`x_2=0+2\triangle x=4/n=2(2/n)`
`x_3=0+3\triangle x=6/n=3(2/n)`
.
.
.
`x_n=0+n\triangle x=n(2/n)=2`
Pada gambar tampak bahwa `L(P)_{dalam}<L(P)_{luar}`
Luas poligon dalam:
`L\left(P_{dalam}\right)=f\left(x_0\right)\triangle
x+f\left(x_1\right)\triangle x+f\left(x_2\right)\triangle x+...+f\left(x_{n-1}\right)\triangle
x`
`L\left(P_{dalam}\right)=(0)^2(2/n)+(1(2/n))^2(2/n)+...+(n-1)(2/n)^2(2/n)`
`=` `(2/n)^3(0^2+1^2+2^2+...+(n-1)^2)`
`=` `(2/n)\sum_{i=0}^{n-1}i^2`
`=` `(2/3)^3(1/6(n-1)(n)(2n-1))`
`=` `8/3-4/n+4/3n^2`
Sehingga,
`\underset{n\rightarrow\infty}{Lim}L(P_{dalam})=\underset{n\rightarrow\infty}{Lim}(8/3-4/n+4/3n^2)=8/3`
Luas poligon luar:
`L(P_{luar})=f(x1)\triangle x+f(x2)\triangle
x+f(x3)\triangle x+....+f(xn)\triangle x`
`=` `(1(2/n)^2(2/n)+(2(2/n))^2(2/n))+...+(n(2/n)^2(2/n))`
`=` `(2/n)^3(1^2+2^2+3^2+...+n)^2`
`=` `(2/n)^n\overset n{\underset{i=1}\sum}i^2`
`=` `(2/n)^3(1/6n(n+1)(2n+1))`
`=` `8/3+4/n+4/3n^2`
Sehingga,
`\underset{n\rightarrow\infty}{LIM}L(P_{luar})=\underset{n\rightarrow\infty}{LIM}(8/3+4/n+4/3n^2)=8/3`
Menurut teorema apit,maka untuk `L(P_{Dalam})<L(P)<L(P_{luar})` didapat `L(P)=8/3`
Selanjutnya ,diambil suatu fungsi `f` yang terdefinisi pada selang `\left[a,b\right]`. Partisikan selang `\left[a,b\right]` atas `n` selang bagian (tidak harus sama panjang)dengan memakai titik-titik:
`a=X_0<X_1<X_2....<X_{n-1}<X_n=b,\triangle X_i=X_{i-1}` (jarak antara titik `X_{i-1}`
dengan `(X_i)`. Pada setiap selang bagian `(X_{i-1},X_i)` dipilih titik sebarang (boleh titik ujung),misalnya X sebagai berikut;
`Rp=\sum_{i=0}^nf(x_i)\triangle x_i` disebut jumlah Rieman dari suatu selang dengan partisi
Dari pembahasan di atas dengan memisalkan `\|P\|` menyatakan norma P, yaitu panjang selang bagian terpanjang dari partisi P, maka dapat dibuat definisi sebagai berikut:
Andaikan f suatu fungsi yang terdiri dari pada selang `\left[a,b\right]`. Jika
nilai `\underset{\|P\|\rightarrow0}{Lim}\sum_{i=1}^nf(xi)\triangle
xi`
ada ,maka dikatakan bahwa f terintegralkan pada `\left[a,b\right]`, dan ditulis
sebagai`\int_a^bf(x)dx=\underset{\|P\|\rightarrow0}{Lim}\sum_{i=0}^nf(x)\triangle
xi` yang disebut integral tentu (atau integral Rieman )f dari a ke b.
Pada lambang `\int_a^bf(x)dx`, a disebut batas bawah, dan b disebut batas atas dari integral tersebut.
Dalam definisi `\int_a^bf(x)dx` , secara implisit kita menganggap bahwa `a<b` . Menghilangkan batasan bawah itu dengan definisi-definisi berikut:
`\int_a^bf(x)dx=0`
`\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx,a>b`
Contoh 1:
Hitunglah luas poligon yang dibatasi oleh kurva y=1/2 x, sumbu X, garis x=2 dan x=4,jika daerah poligon tersebut dibagi atas 5 poligon yang sama.
Jawab:
Karena selang `\left[2,5\right]` dipartisi atas 5 selang bagian yang sama, maka `\triangle x=\left(4-2\right)/5=2/5` dan
`X0=2`
`X1=2+1\triangleX=2+2/5=12/5`
`X2=2+2\triangleX=2+4/5=14/5`
`X3=2+3\triangleX=2+6/5=16/5`
`X4=2+4\triangleX=2+8/5=18/5`
`X5=2+5\triangleX=2+10/5=4`
Luas poligon dalam:
`L(P_{Dalam})=f(xo)\triangle x+f(x1)\triangle
x+f(x3)\triangle x+f(x4)\triangle x`
`=` `\left(\frac1 2\right)(2)\left(\frac2 5\right)+\left(\frac1 2\right)\left(\frac{1 2}5\right)\left(\frac2 5\right)+\left(\frac1 2\right)\left(\frac{14}5\right)+\left(\frac1 2\right)\left(\frac{16}5\right)\left(\frac2 5\right)+\left(\frac1 2\right)\left(\frac{18}5\right)\left(\frac2 5\right)`
`=` `\left(\frac{12}{25}\right)+\left(\frac{14}5\right)+\left(\frac{18}{25}\right)+\left(\frac{18}5\right)+\left(\frac{20}{25}\right)`
`=` `\left(\frac{80}{25}\right)`
`=` `\left(\frac{16}{5}\right)`
Contoh 2:
Hitunglah jumlah Riemann Rp untuk `f(x)=x-1`
Dan partisi P adalah `3<3,75<4,25<5,5<6<7` serta titik-titik sampel : `x1=3,x2=4,x3=4,75,x4=6,` dan x5=6,75`.
Jawab:
`Rp=\sum_{i=0}^nf(x_i)\triangle x_i`
`=` `(2)(0,75)+(3)(0,5)+(3,75)(1,25)+(5)(0,5)+(5,75)(1)`
`=` `15,9375`
Contoh 3:
Hitunglah `\int_{-1}^3(x+4)dx` dengan menggunakan integral Riemann
Jawab:
Bagi selang `\left[-1,3\right]` atas`n` selang bagian yang sama,masing-masing sebesar
`\triangle x=(3-(-1))/n=4/n` . Pada setiap selang bagian `\[xi-1,xi\]` digunakan `x=xi` sebagai titik sampai sehingga,
`X0=-1`
`X1=-1+\triangleX=-1+4/n`
`X2=-1+2\triangleX=-1+2(4/n)`
`X3=-1+3\triangleX=-1+3(4/n)`
.
.
.
`Xi=-1+i\triangleX=-1+n(4/n)`
.
.
.
`Xn=-1+n\triangleX=-1+n(4/n)=3`
Maka, `f(Xi)=xi+4=(-1+i(4/n))+4=3+4i/n1`
`\sum_{i=0}^nf(\overline{Xi)}xi=\sum_{i=0}^nf(\overline{Xi)}\triangle
X`
`=` `\sum_{i=0}^n(3+4i/n)(4/n)=\sum_{i=1}^n12/n+\sum_{i=1}^n16i/n^2`
`=` `12/n\sum_{i=1}^n1+16/n^2\sum_{i=1}^ni`
`=` `12/n(n)+16/n^2(1/2n(n-1))`
`=` `20-8/n`
Jadi `\int_{-1}^3(x+4)dx=\underset\{\rightarrow\infty}{Lim}}(20-8)`
INTEGRAL TAK TENTU BAGIAN 2
Komentar
Posting Komentar