PENULISAN SIGMA
Perhatikan jumlah:
`1^2+2^2+3^2+....+100^2`
dan
`a_1+a_2+a_3+....+a_n`
untuk menunjukkan jumlah ini dalam suatu bentuk yang kompak,kita tuliskan yang pertama sebagai
`\sum_{i=1}^{100}i^2`
dan yang kedua sebagai
`\sum_{i=1}^na_i`
disini `\sum`(huruf kapital sigma Yunani), yang berpadanan dengan huruf capital S, menyarankan kepada kita untuk menjumlahkan (menambahkan semua bilangan berbentuk seperti yang ditunjukkan selama indeks `i` terus meningkat seiring peningkatan bilangan bulat positif, dimulai dengan bilangan yag diperlihatkan di bawah tanda dan berakhir dengan bilangan yang di atas tanda tersebut.Sehingga,
`\sum_{i=2}^5b_i=b_2+b_3+b_4+b_5`
`\sum_{j=1}^n\frac1j=\frac11+\frac12+\frac13+...\frac1n`
`\sum_{k=1}^4\frac
k{k^2+1}=\frac1{1^2+1}+\frac2{2^2+1}+\frac3{3^2+1}+\frac4{4^2+1}`
dan, untuk `n\geq m,`
`\sum_{i=m}^nF(i)=F(m)+F(m+1)+F(m+2)+...+F(n)`
Jika semua c dalam `\sum_{i=1}^nc_i`mempunyai nilai sama,katakan `c`,maka
`\sum_{i=1}^nc_1=c+c+c+...+c=nc`
Sebagai suatu hasil,kita terima perjanjian
`\sum_{i=1}^nc_i=nc`
Khususnya
`\sum_{i=1}^52=5(2)=10`
`\sum_{i=1}^{100}(-4)=100(-4)=-400`
`\sum_{j=0}^2x^3=x^3+x^3+x^3`
Suatu jumlah dapat dituliskan dalam lebih dari satu cara dengan notasi sigma melalui pengubahan batas-batas jumlah.
contoh 1
`\sum_{k=1}^5 2k=2+4+6+8+10`
`\sum_{k=0}^4(2k+2)=2+4+6+8+10`
`\\sum_{k=2}^6(2k-2)=2+4+6+8+10`
PERUBAHAN INDEKS JUMLAH
Terkadang dalam menentukan jumlah dengan notasi sigma,kita ingin mengganti indeks jumlah dengan indeks jumlah yang lainnya. Beikut ini dibeikan satu contoh ilustrasi bahwa hal ini mungkin dilakukan.
Contoh 2 nyatakan `\sum_{k=3}^75^{k-2}` dalam notasi sigma sehingga batas bawah dari sigm adalah nol.
Penyelesaian misalkan indeks baru adalah `j`, maka
`j=k-3`
sehingga jika `k=3` maka `j=0`, dan jika `k=7`,maka `j=4`. Jadi `j` bergerak dari `j=0` sampai `j=4`. sehingga,
`\sum_{k=3}^7 5^k-2=\sum_{j=0}^4 5^(j+3)-2=\sum_{j=0}^4 5^j+1`
Pembaca dapat mengecek bahwa `\sum_{k=3}^75^{k-2}` dan `\sum_{j=0}^45^{j+1}`adalah
`5+5^2+5^3+5^4+5^5`
SIFAT-SIFAT `\sum` Dianggap sebagai operator ,`\sum` beroperasi pda barisan dan operator itu melakukannya secara linear.
Kelinearan `\sum` Misalkan `(a_i)` dan `(b_i)` menyatakan dua barisan dan `c` suatu konstanta .
Maka:
`(i)\sum_{i=1}^nca_i=c\sum_{i=1}^na_i;`
`(ii)\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)=\sum_{i=1}^na_i+\sum_{i=2}^nb_1`
`(iii)\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)=\sum_{i=1}^na_i-\sum_{i=2}^nb_i`
Kita akan membuktikan sifat (i) dan (iii), sedangkan (ii)ditinggal untuk pembaca
Bukti(i)
`\sum_{i=1}^nca_i=ca_1+ca_2+...ca_n`
`=c(a_1+a_2+...a_n)`
`=c\sum_{i=1}^na_i`
Bukti(iii)
`\sum_{k=1}^n(a_k+b_k)=(a_1+b_1)+(a_2+b_2)+...+(a_n+b_n)`
`=a_1+a_2+...a_n+b_1+b_2+...b_n`
`\sum_{i=1}^na_i+\sum_{i=1}^nb_i`
Contoh 3 Misalkan `\sum_{i=1}^{100}a_i=60` dan `\sum_{i=1}^{100}11`. Hitung `\sum_{i=1}^{100}(2a_i-3b_i+4)`
Penyelesaian
`\sum_{i=1}^{100}(2a_i-3b_i+4)=\sum_{i=1}^{100}2a_i \sum_{i=1}^{100}3b_i+\sum_{i=1}^{100}4`
`=` `\overset{100}{\underset{i=1}{2\sum}}a_i-3\sum_{i=1}^{100}b_i+\sum_{i=1}^{100}4`
`=` `2(60)-3(11)+100(4)=487`
Contoh 4 Sederhanakan `\sum_{i=1}^n(a_i-a_{i-1})`
Penyelesaian `\sum_{i=1}^n(a_i-a_{i-1})=(a_1-a_0)+(a_2-a_1)+....+(a_n-a_{n-1})`
`=` `-a_0+a_1-a_1+a_2+....+a_{n-1}-a_{n-1}+a_n`
`=` `-a_b+a_n+a_n-a_0`
BEBERAPA JUMLAH KHUSUS
Pada bagian ini, kita akan meninjau jumlah dari `n` bilangan bulat positif yang pertama,seperti halnya jumlah kuadrat-kuadratnya,pangkat tiganya, dan seterusnya. Beberapa dari masalah ini mempunyai rumus-rumus jumlah suku ke-n yang cukup manis. Deret-deret diantaranya adalah :
`(a)\sum_{k=1}^nk=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}2`
`(b)\sum_{k=1}^nk^2=1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6`
`(c)\sum_{k=1}^nk^3=1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left[\frac{n(n+1)}2\right]^2`
`(d)\sum_{k=1}^nk^4=1^4+2^4+3^4+...+n^4=\frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}`
Kita akan membuktikan sifat (a) dan (b),sedangkan (c) dan (d) ditinggalkan sebagai latihan bagi pembaca.
Bukti (a)
`\sum_{k=1}^nk=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}2` (1)
dengan mengubah urutan persamaan (1) ,diperoleh:
`\sum_{k=1}^nk=n+(n-1)+(n-2)+....+3+2+1` (2)
dengan menjumlahkan (1) dan (2).diperoleh:
`2\sum_{k=1}^nk=(n+1)+(n+1)+(n+1)+....+(n+1)=n(n+1)`
Jadi,
`\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2`
Bukti (b)
`(k+1)^3-k^3=k^3+3k^2+3k+1-k^3=3k^2+3k+1`
diperoleh bahwa
`\sum_{k=1}^n\left[(k+1)^3-k^3\right]=\sum_{k=1}^n3k^2+3k+1`
Ruas kanan dari(3) menghasilkan
`\left[2^3-1^3\right]+\left[3^3-2^3\right]+\left[4^3-3^3\right]+\left[(n+1)^3-n^3\right]=-1+(n+1)^3`
Jadi,
`-1+(n+1)^3=\overset n{\underset{k=1}\sum}3k^2+3k+1`
`-1+(n+1)^3=\overset
n{\underset{k=1}{3\sum}}k^2+3\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^n`
Karenanya
`\sum_{k=1}^nk^2=\frac1 3\left[(n+1)^3+3\frac{n(n+1)}2-(n+1)\right]`
`=` `\frac{n+1}6\left[2(n+1)^2-3n-2\right]`
Contoh 5 Hitung `\sum_{k=1}^{30}k(k+1)`
Penyeleaian `\sum_{k=1}^{30}k(k+1)=\sum_{k=1}^{30}(k^2+k)=\sum_{k=1}^{30}k^2=\sum_{k=1}^{30}k`
`=` `\frac{30(31)(61)}6+\frac{30(31)}2=9920`
Catatan:
Dalam rumus
`\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6`
Atau
`1^2+2^2+3^3+....+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6`
Ruas kiri dari kesamaan ,dikatakan bahwa jumlah diekspresikan dalam bentuk terbuka dan ruas kanan dikatakan mengekspresikan jumlah dalam bentuk tertutup
Contoh 6 Ekspresikan `\sum_{k=1}^n(3+k)^2` dalam bentuk tertutup.
Penyelesaian `\sum_{k=1}^n(3+k)^2=\overset
n{\underset{k=1}\sum}(9+6k+k^2)=\sum_{k=1}^n9+6\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^nk^2`
`=` `9n+6\frac{n(n+1)}2+\frac{n(n+1)(2n+1)}6`
`=` `\frac1 3n^2+\frac7 2n^2+\frac{73}6n`
Komentar
Posting Komentar