Teknologi Informasi dan Komunikasi(TIK) untuk pembelajaran dan pengembangan diri

-
      Teknologi Informasi dan Komunikasi (TIK) atau yang lebih populer dengan sebutan Information and Communication Technology (ICT) sudah semakin berkembang serta memberikan pengaruh terhadap berbagai bidang. (Bambang Warsita 2006), berpendapat bahwa perkembangan Teknologi Informasi dan Komunikasi (TIK) telah mencapai gelombang yang ketiga. Gelombang pertama timbul dalam bentuk teknologi pertanian. Gelombang kedua timbul dalam bentuk teknologi industri. Kini, gelombang ketiga yang ditandai dengan pesatnya perkembangan teknologi elektronika dan informatika.         Dunia pendidikan saat ini mulai mengintegrasikan teknologi pada berbagai aspek termasuk dalam pembelajaran. Kebijakan pendidikan diarahkan untuk memanfaatkan teknologi informasi dan komunikasi sehingga mampu mempersiapkan sumber daya manusia yang mampu menghadapi tantangan global. Dalam pemanfaatan teknologi informasi dan komunikasi pada pembelajaran setidaknya pendidik mampu menguasai ...
Posting Komentar

INTEGRAL TAK WAJAR

-

   Sebelum membahas konsep tentang integral  tak wajar, marilah kita ingat kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu 

Teorea  

Misal `f(x)` adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada `I=\[a,b\],` dan `F(x)` sebarang antiturunan pada `I`, maka 

`\int_a^bf(x)dx=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)` 

Contoh:

1. `\int_2^4(1-x)dx=\left[x-\frac1 2x^2\right]_2^4`

                             `=`  `(4-\frac1 2.16)-(2-\frac1 2 4)`

                             `=` `-4-0`

                             `=` 4`

2.  `\int_1^2\frac{dx}{1+x}=\left[In\|1+x\|\]_1^2`

                                           `=` `In(1+2)-In(1+1)`

                                           `=` `In 3-In 2`

3. `\int_1^2\frac{dx}{\sqrt{1+x}}`, tidak dapat diselesaikan dengan teorem di atas karena integran 

`f(x)=\frac1{\sqrt{1-x}}` tidak terdefinisi pada `x=1`

4. `\int_{-1}^1\frac{dx}x`, tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas, karena integran `f(x)=\frac1x` tidak terdefinisi di `x=0`

       Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar.

Bentuk `\int_a^bf(x)dx` disebut Integral Tidak Wajar jika:

a. Integran `f(x)` mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu)di `\[a,b\]`, sehingga mengakibatkan `f(x)` tidak terdefinisi di titik tersebut. Pada kasus ini teorema dasar kalkulus `\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)` tidak berlaku lagi 

Contoh:

1. `\int_0^4\frac{dx}{4-x},f(x)` tidak kontinu di batas atas `x=4` atau `f(x)` kontinu  di `\(0,4\]`

2. `\int_1^2\frac{dx}{\sqrt{x-1}},f(x)` tidak kontinu di batas bawah `x=` atau `f(x)` kontinu di `\(1,2\]`

3. `\int_0^4\frac{dx}{(2-x)}^{\frac2 3},f(x)` tidak kontinu di `x=2\in\[0,4\]` atau `f(x)` kontinu di 

  `\[0,2\9)\cup\(2,4\]`

b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga 

1) `\int_0^\infty\frac{dx}{x^2+4}` , integran `f(x)` memuat batas atas di  `x=\infty` 

2) `\int_{-\infty}^0e^{2x}dx`, integran `f(x)` memuat batas bawah di  `x=-\infty` 

3) `\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+4x^2}` , integran `f(x)` memuat batas atas di `x=\infty`  dan batas bawah di  `x=-\infty` 

   Pada contoh  `a(1,2,3)` adalah integral tak wajar dengan integran `f(x)` tidak kontinu  dalam batas-batas pengintegralan ,sedangkan pada contoh `b(12,3)` adalah integral tak wajar integran `f(x)` mempunyai batas di tak hingga `\infty` .

   Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi integral tak wajar dengan integrn tidak kontinu integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.

3.2 Integral tak wajar dengan integran diskontinu

a. `f(x)` di  [a,b)  dan tidak kontinu di   `x=b`

       Karena `f(x)` tidak  kontinu di `x=b` , maka sesuai dengan syarat dan definisi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di `x=b-\varepsilon(\varepsilon\rightarrow0^+)`, sehingga 

`\int_a^bf(x)dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_a^{b-\varepsilon}f(x)dx`

Karena batas atas  `x=b-\varepsilon(x\rightarrow b^-)`, maka `\int_a^bf(x)dx=\lim_{t\rightarrow b^-}\int_a^tf(x)dx`

Perhatikan contoh dibawah ini

`\int_0^4\frac{dx}{\sqrt{4-x}}=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_0^{4-\varepsilon}\frac{dx}{\sqrt{4-x}}f(x)`

                                            `=`  `\[\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}-2\sqrt{4-x}\]_0^{4-\varepsilon}`

                                            `=`  `-2\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\left\lfloor\sqrt{4-(4-\varepsilon)}-\sqrt{(4-0)}\right\rfloor`

                                            `=` `-2(\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\sqrt\varepsilon-\sqrt4`

                                            `=` `-2(0-2)`

                                            `=` `4` 

b. `f(x)` di  (a,b] dan tidak kontinu di   `x=a`

      f(x) tidak kontinu di x=a,maka sesuai dengan syarat dan definisi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di `x=a+\varepsilon(\varepsilon\rightarrow0^+)`,sehingga 

`\int_a^bf(x)dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_{a+\varepsilon}^bf(x)dx`

Perhatikan contoh berikut 

`\int_3^4\frac{3dx}{\sqrt{x-3}}=\lim_{t\rightarrow3^+}\int_t^4\frac{3dx}{\sqrt{x-3}}`

                                                 `=``\lim_{t\rightarrow3^+}\left[3(2)\sqrt{x-3}\right]_t^4`

                                                 `=` `\lim_{t\rightarrow3^+}\left\lfloor6\sqrt{4-3}-6\sqrt{t-3}\rfloor`

                                                 `=` `6(1)-6(0)`

                                                 `=` `6`

c. f(x) kontinu di `\left[a,c)\cup(c,b\right]` dan tidak kontinu di `x=c`

        Karena f(x) tidak terdefinisi di `x=c` ,maka sesuai dengan syarat dan deinisi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu `x=c+\varepsilon\ dan\ x=c \varepsilon(\varepsilon\rightarrow0^+)` sehingga

`\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx`

                      `=` `\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_a^{c-\varepsilon}f(x)dx+\underset{\varepsilon\rightarrow0^+}{L\im}\int_{c-\varepsilon}^bf(x)`

Perhatikan contoh berikut

`\int_{-1}^1\frac{dx}{x^4},f(x)` diskontinu di `x=0,` sehingga diperoleh:

`\int_{-1}^1\frac{dx}{x^4}=\int_{-1}^0\frac{dx}{x^4}+\int_0^1\frac{dx}{x^4}`

                                           `=` `\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_{-1}^{0-\varepsilon}\frac{dx}{x^4}+lim\int_{0+\varepsilon}^1\frac{dx}{x^4}`

                                           `=` `\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\left[\frac{-1}{3x^2}\right]_{-1}^{0-\varepsilon}+\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\left[\frac{-1}{3x^2}\right]_{0+\varepsilon}^8`

  `=` tidak berarti karena memuat bentuk `\frac1 0`

3.3 Integral tak wajar dengan batas tak hingga

      Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang  integrannya tidak kontinu di salah satu batas intergrasinya.

a. Intergral tak wajar dengan batas atas `x = \infty`

      Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana  variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk.

Contoh:

`\int_1^\infty\frac{dx}{x^2}=\lim_{t\rightarrow\infty}\int_1^t\frac{dx}{x^2}`

                                             `=` `\lim_{t\rightarrow\infty}\left[-\frac1x\right]_1^t`

                                             `=` `\lim_{t\rightarrow\infty}\left[-\frac1t+1\right]_1^t`

                                             `=` `1`

b. Integral tak wajar dengan batas bawah di `x = -\infty`

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimana  variable tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar  dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian:

Contoh:

`\int_{-\infty}^0e^{2x}dx=\lim_{t\rightarrow-\infty}\left[\frac12e^{2x}\right]_t^0`

                                        `=` `\lim_{t\rightarrow-\infty}\left[\frac1 2.1-\frac1 2e^{2t}\right]`

                                        `=` `\frac1 2-0`

                                        `=` `\frac1 2`


c. Integral tak wajar  batas atas `x= \infty` dan batas bawah di `x = -\infty`

Contoh:

`\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+4x^2}=\int_{-\infty}^0\frac{dx}{1+4x^2}+\int_0^\infty\frac{dx}{1+4x^2}`

                                                              `=` `\lim_{t\rightarrow-\infty}\left[arctg4x\right]_t^0+\lim_{t\rightarrow\infty}\left[arctg4x\right]_0^t`

                                                              `=`  `\frac{\pi}2`


Sekian dan terimakasih...



  

     








Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

INTEGRAL TAK TENTU

-
INTEGRAL TAK TENTU Pengertian Integral Tak Tentu Integral tak tentu atau disebut dengan anti-turunan adalah bentuk operasi pengintegralan  yang  menhasilkan suatu fungsi baru. Integral tak tentu merupakan suatu fungsi baru yang turunannya sama seperti fungsi aslinya. Jenis integral ini tidak memiliki batas dan belum mempunyai nilai yang jelas. Integral Tak Tentu (undefinite integral) adalah bentuk integral yang variabel integrasinya tidak memiliki batas sehingga integrasi dari sebuah fungsi akan menghasilkan banyak kemungkinan dan hanya dinyatakan sebagai penyelesaian umum. Istilah tak tentu berarti bentuk fungsi f(x) memuat konstanta real sembarang.  Perhatikan persamaan berikut Jika  `f\left(x\right)`   dan turunannya `\frac{df}{dx}=f^'\left(x\right),`   ,  maka integral  dari  `f^'\left(x\right)`  terhadap x  dinyatakan  `\int f^'\left(x\right)dx=f(x\}+c` dengan C suatu konstanta. Rumus integral tak tentu sebagai beriku...
Baca selengkapnya

Ruang Lingkup Profesi Keguruan

-
 Profesi adalah suatu pekerjaan yang dalam melaksanakan tugasnya memerlukan/menuntut keahlian (expertise), menggunakan teknik-teknik ilmiah, serta dedikasi yang tinggi. Keahlian diperoleh dari lembaga pendidikan yang khusus diperuntukkan untuk itu dengan kurikulum yang dapat di pertanggungjawabkan. Pada dasarnya profesi guru adalah profesi yang sedang tumbuh. Walaupun ada yang berpendapat bahwa guru adalah jabatan semiprofesional, namun sebenarnya lebih dari itu. Peranan profesi guru dalam keseluruhan program pendidikan disekolah diwujudkan untuk mencapai tujuan pendidikan yang berupa perkembangan siswa secara optimal. Untuk maksud tersebut, maka peranan professional itu mencangkup tiga bidang layanan, yaitu layanan intruksional, layanan administrasi, dann layanan bantuan akademik social pribadi. Pertama, penyelenggaraan proses belajar mengajar, yang menempati porsi terbesar Dari profesi keguruan. Kedua, tugas yang berhubungan dengan membantu murid dalam mengatasi masalah belajar p...
Baca selengkapnya

sasaran sikap profesional dan pengembangan sikap profesional (Case method)

-
  A. Pengertian sikap profesional guru Sikap profesional merupakan sikap seseorang dalam menjalankan pekerjaan yang mencakup keahlian,kemahiran dan kecakapan yang memenuhi standar mutu atau norma tertentu serta memerlukan pendidikan profesi. Thursthoen menjelaskan bahwa, “sikap” adalah gambaran kepribadian seseorang yang terlahir melalui gerakan fisik dan tanggapan pikiran terhadap suatu keadaan atau suatu objek. Sedangkan Berkowitz menerangkan sikap seseorang pada suatu objek adalah perasaan atau emosi, dan faktor kedua adalah reaksi/respon atau kecenderungan untuk bereaksi. Sebagai reaksi maka sikap selalu berhubungan dengan dua alternatif, yaitu senang (like) atau tidak senang (dislike), menurut dan melaksanakan atau menghindari sesuatu.Profesional adalah pekerjaan atau kegiatan yang ilakukan oleh seseorang dan menjadi sumber penghasilan kehidupan yang memerlukan keahlian, kemahiran, atau kecakapan yang memiliki standar mutu atau norma tertentu serta memerlukan pendidikan profes...
Baca selengkapnya