A. Luas Suatu Luasan
Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang `XOY` dengan persamaan `y=f(x)` atau `x=g(y)` atau `y=f(x),x=g(y)` yang berbatasan dengan sumbu-sumbu koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. Luasan dalam bidang dapat dikelompokkan menjadi luasan positif dan luasan negatif. Luasan positif adalah luasan dengan persamaan `y=f(x)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atas sumbu-x atau luasan dengan persamaan `x=g(y)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atas sumbu-x dan luasan dengan persamaan `x=g(y)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di sebelah kanan sumbu-y. Berikut ini gambar positif yang dimaksud.
Gambar 1
Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan `y =f (x)`dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di bawah sumbu- atau luasan dengan persamaan `x = g( y)`dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kiri sumbu- . Berikut ini gambar luasan negatif tersebut.
Gambar 2
Luasan positif dan negatif sebagaimana telah dijelaskan di atas, pembatasan juga dapat terjadi bukan hanya satu kurva tetapi dapat juga berupa dua kurva sekaligus, misalnya `y_2=f(x)` dan `y_2=g(x)` Pembahasan ini diawali dengan menentukan luas luasan menggunakan integral untuk daerah yang dibatasi oleh satu kurva.
a. Daerah antara kurva dan sumbu koordinat
`R` sebagaimana terlihat pada Gambar 3, adalah luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva `y=f(x),x=a,x=b` Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan `R` dinyatakan dengan
`A(R)=\int_a^bf(x)dx`
Jika luasan terletak di bawah sumbu- , maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk
`A(R)=\int_a^b-f(x)dx=\|\int_a^bf(x)dx\|`
Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah sebagai berikut :
a) Sketsakan daerah yang akan ditentukan luasnya sehingga tampak jelas batas-batasnya dan mudah dilihat.
b) Buatlah garis-garis yang sejajar sumbu- x atau sumbu-y, selanjutnya irislah (bagi) luasan dalam bidang yang disebut partisi dan berikan nomor pada masing-masing partisi yang terbentuk.
c) Aproksimasikan luas masing-masing partisi tertentu dengan menganggapnya sebagai sebuah persegi panjang.
d) Jumlahkan aproksimasi dari luas masing-masing partisi pada luasan yang telah dibentuk.
e) Dengan menggunakan limit dari jumlah luas partisi diatas dengan lebar masing-masing partisi menuju 0, maka diperoleh integral tertentu yang merupakan luas luasan.
Contoh 1
Susunlah integral untuk daerah di bawah kurva `y=1+\sqrt x` di antara `x=0` dan `x=4` (Gambar 4)
Gambar 4
3. Aproksimasikan luas irisan khas: `\triangle A_i=(1+\sqrt{x_i})\triangle x_i`
4. Jumlahkan `A(R)\approx\sum_{i=1}^n(1+\sqrt{x_i})\triangle x_i`
5. Ambil limit: `A(R)=\int_0^4(1+\sqrt{x_i})\triangle x_i`
Jawab
Begitu kita memahami prosedur lima langkah ini, kita dapat menyingkatnya menjadi tiga langkah: iris, aproksimasikan, integrasikan. Pikirkan kata integrasikan sebagai gabungan dua langkah: (1) jumlah luas irisan dan (2) ambil limit ketika lebar irisan menuju nol. Dalam proses ini ∑...`\triangle x` berubah menjadi ∫...`dx` ketika kita mengambil limit. Gambar 5 memberikan bentuk yang diringkas untuk masalah yang sama.
2. Aproksimasikan `\triangle A\approx(1+\sqrt x)\triangle x`
3. `A(R)=\int_0^4(1+\sqrt x)\triangle x`
Contoh 2
Segitiga ABC terletak pada , titik-titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat kartesius yaitu A(0,0),B(3,0) dan C(3,7). Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.
Jawab
Gambar segitiga ABC adalah
Gambar 6
Persamaan garis AC dinyatakan dengan rumus
`\frac{y-y_A}{x-x_A}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}`
Diperoleh persamaan `\frac{y-0}{x-0}=\frac{7-0}{3-0}`
`3y=7x` atau `y=\frac7 3x`
Sehingga luas yang dicari dinyatakan dengan `A(R)=\int_a^bf(x)dx`
`\int_0^3\frac7 3xdx=\frac7 6x^2\|_0^3\.=\frac7 6.9=10,5`, satuan luas
Contoh 3
Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva `y=4-x^2` dan sumbu-sumbu koordinat
Jawab
Luasan `y=4-x^2` yang dibatasi sumbu-sumbu koordinat gambarnya adalah
Gambar 7
Perhatikan Gambar 7 atas luasan yang diketahui R berada di atas sumbu-x sehingga luasnya dapat dinyatakan dengan menggunakan integral,yaitu:
`A(R)=\int_a^bf(x)dx`
`\Leftrightarrow\int_{-2}^2(4-x^2)dx`
`\2Leftrightarrow\int_{-2}^2(4-x^2)dx`
`2\left(4x-\frac13x^3\right)_0^2`
`2\left(4.2-\frac13.2^3\right)-2\left(4.0-\frac13.0^3\right)`
`2\left(8-\frac83\right)=\frac{32}3`
b. Daerah antara dua kurva
Daerah antara dua kurva adalah luasan yang pembatsanya adalah y= f (x) dan y=g(x) dengan `f (x) \geq g(x)` pada selang `\left[\mathrm a,\mathrm b\right]` . Sepertihalnya luasan yang dibatasi oleh satu kurva, luasan yang dibatasi dua kurva dapat berupa luasan positif dan luasan negatif. Dengan demikian aturan menentukan luasan dengan integral pada luasan yang dibatasi satu kurva juga berlaku untuk luasan yang dibatasi oleh dua kurva.Perhatikan Gambar 11 berikut ini.
`\triangle A\approx(f(x)-g(x)\triangle x`
Sehingga luasan dinyatakan dengan:
`A(R)=\int_a^b(f(x)-g(x))dx`
Rumus diatas berlaku untuk luasan di atas sumbu-x,jika luasannya di sebelah kanan sumbu -y ,maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurv dinyatakan dengan
`A(R)=\int_d^c(f(y)-g(y))dy`
Contoh 6
Carilah luas daerah di antara kurva `y=x^4` dan `y=2x-x^2`
Jawab
Mencari titik-titik perpotongan kedua persamaan
`x^4=2x-x^2\rightarrow2x-x^2-x^4=0`
`x=0` atau `x=1`
Sehingga diperoleh ,
`\triangle A(R)\approx\left[(2x-x^2)-x^4\right]\triangle
x=(-x^4-x^2+2x)\triangle x`
`A(R)=\int_0^1(-x^4-x^2+2x)dx`
`=\left[-\frac1 5x^5-\frac1 3x^3+x^2\right]_0^1`
`=\left(-\frac1 5.1^5-\frac1 3.1^3+.1^2\right)-0`
`=-\frac1 5-\frac1 3+1=\frac7{15}`
`=\frac7{15}\approx0,46` satuan luas
Komentar
Posting Komentar